2010年度
入試速報 京都大学
入試問題の分析と対策

前期理系数学

■概要

試験時間：150分 大問数：6題

■京都大学の数学（前期理系）で求められる力

○論理的に解法を構築する思考力と，その考えを解答に表現する発信力が求められる。

「問題を解くのに必要な定理・公式・解法を素早く判断し，適用する力」，「解答を厳密かつ論理的に書く力」が求められる。いかに，解法を構築し，答案に発信できるかが問われているのだ。また，京大は誘導が与えられないことが多いので，解答のストーリーづくりが重要となる。最初から最後まで自力で考えて解答をつくる力を養いたい。

○幅広い分野の理解や一歩進んだ知識が必要。

京大数学では，微積分，図形，整数問題，確率，行列など幅広い分野から標準的な問題が多く出題されるので，苦手な分野をつくらないようにしたい。各分野の土台がしっかり身についているかが問われているのだ。問題は標準的なものが多いので，定理・公式や頻出の解法を，まずは完璧に理解するようにしよう。また，計算手法や考え方を知っていれば効率化が図れるが，知らないと大変煩雑な計算を強いられる問題も出題される。まんべんなく解法をマスターし，どんな問題にも対応できるようになろう。

■最近5年間の出題状況

テーマ	2010（甲）	2010（乙）	2009（甲）	2009（乙）	2008（甲）	2008（乙）	2007（甲）	2007（乙）	2006
方程式・不等式					○	○			○
2次関数
図形と方程式
三角比・三角関数		○	○		○	○
指数関数・対数関数			○
極限							○	○
微積分	◎	◎	○	○	◎	◎	○	◎	◎
場合の数・確率	○	○	○	○	○	○	○	○
平面図形	○	◎		○	○		○
空間図形					○	○
平面ベクトル								○	○
空間ベクトル	○	○	○	○		○			○
数列	○			○			○	○
行列			○	○			◎	○
2次曲線
極座標			○	○
論証
整数問題		○	○	○			○	○	○

※2006～2010年度入試における出題範囲を一覧とした。
※○は1題，◎は2題以上の大問でそのテーマの力が問われたことを示す。（解答で用いられる知識は解法による。ここでは，受験生が試験本番で実際に使えると京大特講編集部が判断した解法をもとに，テーマのカウントを行っている。）
※2007年度からは，理系は甲・乙の2つに分かれているため，両方掲載した。

■2010年度入試の特徴

○整数問題において誘導となる小問が設けられた。

理系・乙は，2009年度に引き続き，整数問題が小問による誘導のある形式で出題された。理系・甲は，2009年度は第1問に独立した2つの小問がある形式であったが，2010年度は2008年度と同様の小問のない形式となった。難易は2009年度より理系・甲，乙ともに易化した。

○図形問題は取り組みやすかったが整数問題は難問。記述をしっかりできたかで差がつく出題だった。

理系・乙では，第5問で，難易度が高く，論証力を要求される京大らしい整数問題が出題された。一方で図形問題などそれ以外の問題は2009年度よりも取り組みやすかった。問い方も，2009年度まで頻繁に見られた必要十分条件を求めさせる出題はなかった。しかし，取り組みやすいからといって思考過程や計算過程の記述を省いたり，導いた値の吟味を怠れば減点は免れない。記述をしっかりとできるかどうかで差がつく出題であった。理系・甲は，3題が理系・乙との共通問題，2題が文系との共通問題であったが，理系・乙や文系で出題された整数問題は扱われなかった。数IIIの積分は2題で扱われた。理系・甲，乙とも，図形に関する問題をはじめとして複数の解法を考えられる問題が多く，解答の見通しを立てる力も大切であった。

■2010年度 大問別出題分析（理系・甲）

大問	テーマ	難易度	内容と求められた力
第1問	場合の数・確率	やや易	事象を正確に数え上げる能力が問われた。 1から5までの自然数を並べるとき，前から3つの数の和と後ろから3つの数の和が等しくなる場合を考察する問題。場合の数の数え上げでは，基準となるものを定めて場合を分け，数え上げるとよい。本問では3番目の数に着目すると見通しよく場合分けできる。条件を満たす事象を「もれなく，重複なく」数え上げる能力が必須である。
第2問	空間ベクトル	やや易	空間における垂直性をベクトルを用いて証明する論証力が問われた。 空間において平面と直線が垂直であることを証明する問題。平面をつくる2つのベクトルと直線が垂直であることを示す。内積計算を手際よくできるように，始点をそろえ，独立した３つのベクトルを設定することがポイント。与えられた条件をこの３つのベクトルを用いて整理し，示すべき事柄を簡潔に表現することが大切である。
第3問	平面図形	標準	三角形の内角の最大値を求めるための解法の見通しを立てる力が問われた。 直線上を動く点を頂点にもつ三角形の内角の最大値を求める問題。図形的に簡潔に求めることもできるが思いつかなければ問われた角を2直線のなす角で考えることに気づくとよい。2直線のなす角は正接の加法定理を使って考えるのが基本である。最大値の判定部分では，相加相乗平均の関係を用いると手際よく求められる。正接の加法定理の代わりに内積を用いて考えることもできるが計算が大変なため，解法の流れを見通す力が問われた。
第4問	数列	やや易	数列の証明問題を数学的帰納法で処理する力が問われた。 数列について与えられた不等式の条件から，その数列のすべての項が０であることを証明する問題。数学的帰納法を用いることに気づけば簡単である。数学的帰納法の証明の手順をきちんとおさえて減点されない答案を書くことができるかどうかで差がつくであろう。
第5問	微積分	やや易	面積を比較するときに計算を工夫する計算処理能力が問われた。 三角関数のグラフにおける面積の比較から定数aの値を求める問題。教科書や参考書などにもよく見られる問題。2曲線の交点のx座標をαで表して積分計算を進めることがポイントとなる。得られた結果はaとsinα，cosαを含む式になるが，aの値かまたはsinαの値のどちらを先に消去するかによって計算の工夫が変わってくる。煩雑な計算はないが，的確な計算処理能力が問われた。
第6問	微積分	難	立体を把握する力と定積分の計算力が問われた。 対角線を軸にして立方体を回転させて得られる回転体の体積を，定積分を利用して求める問題。軸に対して垂直な平面による断面積を計算して積分するのであるが，断面積の計算には空間図形を取り扱う能力が求められる。ベクトルを用いたり，空間図形の方程式に持ち込んだりいろいろな方法が考えられる問題である。また，積分変数の取り方には注意を要する。

※「難易度」は，合格者の正答率が5割程度だと京大特講編集部が推測したものを「標準」とした。

■2010年度 大問別出題分析（理系・乙）

大問	テーマ	難易度	内容と求められた力
第1問	空間ベクトル	やや易	空間における垂直性をベクトルを用いて証明する論証力が問われた。 空間において平面と直線が垂直であることを証明する問題。平面をつくる2つのベクトルと直線が垂直であることを示す。内積計算を手際よくできるように，始点をそろえ，独立した３つのベクトルを設定することがポイント。与えられた条件をこの３つのベクトルを用いて整理し，示すべき事柄を簡潔に表現することが大切である。
第2問	平面図形	標準	三角形の内角の最大値を求めるための解法の見通しを立てる力が問われた。 直線上を動く点を頂点にもつ三角形の内角の最大値を求める問題。図形的に簡潔に求めることもできるが思いつかなければ問われた角を2直線のなす角で考えることに気づくとよい。2直線のなす角は正接の加法定理を使って考えるのが基本である。最大値の判定部分では，相加相乗平均の関係を用いると手際よく求められる。正接の加法定理の代わりに内積を用いて考えることもできるが計算が大変なため，解法の流れを見通す力が問われた。
第3問	微積分	やや易	面積を比較するときに計算を工夫する計算処理能力が問われた。 三角関数のグラフにおける面積の比較から定数aの値を求める問題。教科書や参考書などにもよく見られる問題。2曲線の交点のx座標をαで表して，積分計算を進めることがポイントとなる。得られた結果はaとsinα，cosαを含む式になるが，aの値かまたはsinαの値のどちらを先に消去するかによって計算の工夫が変わってくる。煩雑な計算はないが，的確な計算処理能力が問われた。
第4問	三角比・三角関数，平面図形	標準	鋭角三角形における正弦定理・余弦定理を用いた解法を見通す力が問われた。 外接円の半径が1の鋭角三角形の3辺の長さがa,b,のとき，bをaで表す問題。aとbの長さの関係を得るには，正弦定理を用いる方法と，余弦定理を用いる方法がある。正弦定理を用いる場合は加法定理が必要となるがこちらの方が方針はたちやすい。余弦定理の場合は解が2通り出るので適切な方を選ぶ吟味が大変。いずれにしても鋭角三角形であることを用いて解をしぼることが大切である。
第5問	整数問題	難	整数問題を数学的帰納法で処理する力，および（2）を（1）の誘導に乗って解く力が問われた。 割り算を素材にした整数問題。（2）は難問なので，（1）で解法が誘導されている。（1）は数学的帰納法で確実に得点しておきたい。（2）は（1）の形に持ち込んで論証したいが，偶数を「（2のｎ乗）×（奇数）」と表すことが難しい。他の問題に比べて難しく，論証力を試される京大らしい問題である。
第6問	場合の数・確率，微積分	標準	確率の計算と区分求積によって極限値が求められるかが問われた。 確率を求める問題と極限値を求める問題の融合問題。確率部分は場合の数を丁寧に計算すれば求められる問題で，確率で戸惑ってしまえば先に進めない。極限値を求める部分では，区分求積の形になっていることに気づくことがポイントである。積分計算は対数関数の積分であり，計算は難しくない。

※「難易度」は，合格者の正答率が5割程度だと京大特講編集部が推測したものを「標準」とした。

■合格に向けての対策

○頻出問題・頻出解法はひと通りマスターしておく。

京大数学では例年，標準的な定理・公式や解法が理解できているかを問う問題が多い。つまり，頻出問題・頻出解法は必ずできるようにしておかなくてはならないのだ。標準的な問題集に何度も取り組み，頻出解法は必ず身につけておこう。遅くとも，高3の夏までには頻出問題は解けるようにしたい。

○自力で解答の見通しを立てる練習をしておこう。

京大数学の特徴として，小問がない問題が多いことが挙げられる。小問誘導に乗って解き進めていくのではなく，自分で解答の筋道をつくれる力を求めていると言える。この対策には，過去問を利用するのがよいだろう。まずは，比較的易しい2008年度の過去問などで練習し，小問がない問題に慣れるとよい。

○自分の答案を客観視できるようになろう。

京大数学には，解答方針はわかっても，答案として発信するのが難しい問題が多い。答案として発信する力をつけるには，自分の答案を客観視できる力をつける必要がある。まずは，自分の答案を誰か他の人にチェックしてもらうとよい。一人では自分自身の論理の誤りに気づきにくいことも多いし，論理的には正しくても，わかりづらい答案もあるからだ。また，他者による指導と並行して，自分の答案を自分で採点する習慣もつけよう。採点基準を見ながら自己採点することで，出題者が何を求めていたのかがわかる。そのため，問題演習をする際は，解答に採点基準が明確に記されているものを使うとよい。

○整数問題の対策をしよう。

京大数学といえば整数問題，と言われるくらい整数に関する問題はよく出題される（最近5年間では，2010，2009，2007，2006年度に出題）。その対策には，過去問を利用するとよいだろう。京大理系・文系の過去問はもちろん，東大や一橋大，津田塾大，早稲田大（政治経済学部）など整数問題がよく出る大学の過去問にも取り組んでおくとよい。また，整数問題は論理的に不十分な答案になりがちなので，自分の解答と模範解答を見比べ，完全な解答が書けているかを解き終わった後に確認しよう。

○普段から，最後まで計算をやりきる習慣を。

京大では計算が難しい問題は少ない。ということは，計算ミスができないということである。つまり，最後まで計算をやりきる力を身につけなければならない。問題演習でも自分の手を動かして計算することを怠らないようにすること。その際，複雑な式の扱い方の計算テクニック（文字による置き換えや次数下げなど）もあわせて身につけておこう。