2008年度
入試速報 京都大学
入試問題の分析と対策

前期理系数学

■概要

試験時間：150分 大問数：6題

■京都大学の数学（前期理系）で求められる力

○構築・発信の力が求められる。

「問題を解くのに必要な定理・公式・解法を素早く判断し，適用する力」，「解答を厳密かつ論理的に書く力」が求められる。いかに，解法を構築し，答案に発信できるかが問われているのだ。また，京大は誘導形式の小問がないことが多いので，解答のストーリーづくりが重要となる。最初から最後まで自力で解答をつくる力を養いたい。

○幅広い分野の理解や一歩進んだ知識が必要。

京大数学では，微積分，図形，整数問題，確率，行列など幅広い分野から標準的な問題が多く出題されるので，苦手な分野をつくらないようにしたい。各分野の土台がしっかり身についているかが問われているのだ。問題は標準的なものが多いので，定理・公式や頻出の解法を，まずは完璧に理解するようにしよう。また，理系では，手法を知っていれば解けるが，知らないと解けないような問題も出題される。一歩進んだ知識もつける必要がある。

※2004～2008年度入試における出題範囲を一覧とした。
※○は1題，◎は2題以上の大問でそのテーマの力が問われたことを示す。（解答で用いられる知識は解法による。ここでは，受験生が試験本番で実際に使えると京大特講編集部が判断した解法をもとに，テーマのカウントを行っている。）
※2007，2008年度は，理系は甲・乙の2つに分かれたため，両方掲載した。
※（＊）複素数平面は2006年度入試より出題範囲外。

■2008年度入試の特徴

○2006年度以前の小問がない形式に戻った。

2007年度は第1問に小問があったが，2008年度は2006年度以前の「小問がない形式」に戻った。難易は甲は2007年度並み，乙は昨年よりもやや易化した。

○図形に関する問題が甲・乙とも各3題出題され，整数問題の出題がなかった。

理系・甲，乙ともに図形に関する問題が3題出題された（甲・乙とも第3問，第5問，第6問）。そのうち甲では2題が，乙では3題が空間の問題で，空間の状態をイメージして解答方針を構築していくことができるかが問われた出題と言えよう。また，「ベクトルを導入するか」「幾何的に考えていくか」など，どの解法を選択すればよいかも大きなポイントとなった。2005年度から3年連続して出題されていた整数問題がなかったのも特徴である。

■2008年度 大問別出題分析（理系・甲）

大問	テーマ	難易度	内容と求められた力
第1問	微積分	やや易	グラフを利用し，必要十分条件を求める確実な論証力が問われた。 共有点をもたないことの必要十分条件を求める問題である。2つのグラフの位置関係を調べるのではなく，関数f(x)＝px＋q－logxなどとおくところがポイント。f(x)のおき方には色々あるがこの場合は，対数関数の微分を用いてグラフがx軸と交わらない条件を求める。この解法では，最小値が正になる条件を求めることになる。全体的に計算量はないが，p＞0，p ＝0，p＜0の場合分けなど確実な論証が必要。また，p＜0の場合は極限をとるなどの論証力が問われている。
第2問	確率	標準	事象の分析と場合分けの力が問われた問題。 正四面体ABCDの頂点を1秒ごとに移動する点が，時刻nまでの間に4頂点すべてに現れる確率を求める問題である。場合の数の計算によって求める方法と，漸化式をつくりだして解く方法が考えられる。また，余事象の考え方もポイントである。場合の数の計算では，該当する事象を分析し，場合を分ける能力が求められる。漸化式を用いた解法では，時刻によって事象の推移をきちんと把握する能力が求められる。
第3問	平面図形	やや易	幾何の論証能力や解法を選択する力が問われた。 二等辺三角形ABCと，条件を満たす点M，Nに対して，BCが角を2等分することを証明する問題である。補助線を引き，平行線の条件，相似形を用いて証明することができる。別解としてはベクトルの内積を用いることもできるが，この問題は基本的な幾何的手法で解決できる。補助線を適切に引き，等辺や等角を導き出す論証能力が求められるが，補助線の引き方を含めて数多くの解法が考えられる。
第4問	方程式	標準	共通解の存在に注意し，aによる場合分けの見通しを立てる力が求められた。 4次方程式の実数解の個数を求める問題である。方程式の形が2次式の積の形で与えられているので，2つの2次方程式を別々に考えればよい。実数解をもつことから判別式だけに頼って，実数解と虚数解だけでaによる分類をしてはいけない。この2つの方程式に共通の解がある場合があり，そこがaによる場合分けの大きなポイントになっている。
第5問	微積分	標準	立体図形を把握する力と定積分の計算力が問われた。 不等式で与えられた円柱を平面で2つに分けたとき，一方の体積を定積分を用いて求める問題である。立体図形を把握し，その図形をいかなる断面でカットすると断面積が計算しやすいかを考え，その断面積を求める力が第一に求められる。第二はその定積分の値を正確に素早く計算する計算力が必要である。この問題では無理式の定積分を行う必要がある。
第6問	空間図形，三角関数	標準	球面上の2点の位置関係を把握し，角度を評価する問題。 球面上の2点A，Bを含みz軸に垂直な平面で球面を切ったときにできる円弧と，2点A，Bと球の中心Oを通る平面で球面を切ったときにできる円弧の長さを比較する問題。はであり，は中心角をとするととなるから，との比較をすることになる。ここで，ととの大小を比べればよい。空間図形の把握力と角度の大小を評価する力が問われる問題である。

※編集部が考える模範解答に対して，合格レベルの人であれば半分程度の答案を作成できると推測したものを「標準」とする。

■2008年度 大問別出題分析（理系・乙）

大問	テーマ	難易度	内容と求められた力
第1問	微積分	やや易	グラフを利用し，必要十分条件を求める確実な論証力が問われた。 共有点をもたないことの必要十分条件を求める問題である。2つのグラフの位置関係を調べるのではなく，関数f(x)＝px＋q－logxなどとおくところがポイント。f(x)のおき方には色々あるがこの場合は，対数関数の微分を用いてグラフがx軸と交わらない条件を求める。この解法では，最小値が正になる条件を求めることになる。全体的に計算量はないが，p＞0，p ＝0，p＜0の場合分けなど確実な論証が必要。また，p＜0の場合は極限をとるなどの論証力が問われている。
第2問	確率	標準	事象の分析と場合分けの力が問われた問題。 正四面体ABCDの頂点を1秒ごとに移動する点が，時刻nまでの間に4頂点すべてに現れる確率を求める問題である。場合の数の計算によって求める方法と，漸化式をつくりだして解く方法が考えられる。また，余事象の考え方もポイントである。場合の数の計算では，該当する事象を分析し，場合を分ける能力が求められる。漸化式を用いた解法では，時刻によって事象の推移をきちんと把握する能力が求められる。
第3問	空間ベクトル	やや難	ベクトルを用いて，簡潔に論証する力が問われた。 空間図形に関する証明問題で，「存在すること」の証明など京大らしい良問である。何を仮定し，何を示すのかなど論証の見通しをうまく立てないと答案の書きづらい問題である。京大のこの種の問題ではベクトルを用いるのがよくあるパターンで，本問もベクトルを用いると証明しやすい。「どの3直線も同一平面上にない」条件をうまく使い，平行四辺形であることを示す。「存在すること」の証明だから，一つでも具体的に示すことができればよい。簡潔に証明をまとめることが大切である。
第4問	方程式	標準	グラフの共有点の個数を方程式の実数解の個数としてとらえる力が問われる問題。 絶対値のついた2つの関数のグラフの共有点の個数を数える問題で，絶対値をはずして考えれば，2つの2次方程式の実数解の個数を調べることに帰着する。実数解をもつことから判別式だけに頼って，実数解と虚数解だけでaによる分類をしてはいけない。この2つの方程式に共通の解がある場合があり，そこがaによる場合分けの大きなポイントになっている。絶対値をはずした後，文字定数aを分離して，直線y=aと2つの分数関数のグラフとの共有点を数える，または直線y=axと2つの放物線との共有点を数えるという方針でもよい。いずれにしても解答の方針を明確にして解くことが大切である。
第5問	微積分	やや易	立体図形を把握する力と定積分の計算力が問われた。 不等式で与えられた円柱を平面で2つに分けたとき，一方の体積を定積分を用いて求める問題である。立体図形を把握し，その図形をいかなる断面でカットすると断面積が計算しやすいかを考え，その断面積を求める力が第一に求められる。第二はその定積分の値を正確に素早く計算する計算力が必要である。この問題では無理式の定積分を行う必要がある。
第6問	空間図形，三角関数	やや難	地球上の2点の位置関係を把握し，三角関数表を用いて角度を評価する問題。 地球上の2点A，Bを含み地軸に垂直な平面で球面を切ったときにできる円弧と，2点A，Bと地球の中心を通る平面で球面を切ったときにできる円弧の長さを比較する問題。地球の半径をとすれば，はであり，は中心角をとしてとなるから，このとの比較をすることになる。との比較に三角関数表を用いさせることが特徴である。空間図形の把握力と角度の大小を評価する力が問われる問題である。

※編集部が考える模範解答に対して，合格レベルの人であれば半分程度の答案を作成できると推測したものを「標準」とする。

■合格に向けての対策

○頻出問題・頻出解法はひと通りマスターしておく。

京大数学では例年，標準的な定理・公式や解法が理解できているかを問う問題が多い。つまり，頻出問題・頻出解法は必ずできるようにしておかなくてはならないのだ。標準的な問題集に何度も取り組み，頻出解法は必ず身につけておこう。遅くとも，高3の夏までには頻出問題は解けるようにしたい。

○自力で解答の見通しを立てる練習をしておこう。

京大数学の特徴として，小問がない問題が多いことが挙げられる。小問誘導に乗って解き進めていくのではなく，自分で解答の筋道をつくれる力を求めていると言える。2008年度の問題でも，見通しを立てる力が求められた問題が複数出題された（乙の第3問，甲・乙の第4問）。この対策には，過去問を利用するのがよいだろう。まずは，比較的易しい2003年度～2007年度の過去問で練習し，小問がない問題に慣れるとよいだろう。

○自分の答案を客観視できるようになろう。

京大数学には，解答方針はわかっても，答案として発信するのが難しい問題が多い。答案として発信する力をつけるには，自分の答案を客観視できる力をつける必要がある。まずは，自分の答案を誰か他の人にチェックしてもらうとよい。一人では自分自身の論理の誤りに気づきにくいことも多いし，論理的には正しくても，わかりづらい答案もあるからだ。また，他者による指導と並行して，自分の答案を自分で採点する習慣もつけよう。採点基準を見ながら自己採点することで，出題者が何を求めていたのかがわかる。そのため，問題演習をする際は，解答に採点基準が明確に記されているものを使うとよい。

○整数問題の対策をしよう。

2008年度の出題はなかったが，京大数学といえば整数問題，と言われるくらい整数に関する問題はよく出題される（最近5年間では，2007，2006，2005年度に出題）。その対策には，過去問を利用するとよいだろう。京大理系・文系の過去問はもちろん，東大や一橋大，津田塾大，早稲田大政治経済学部など整数問題がよく出る大学の過去問にも取り組んでおくとよい。また，整数問題は論理的に不十分になりがちなので，自分の解答と模範解答を見比べ，完全な解答が書けているかを解き終わった後に確認しよう。

○ミスをしないで，最後まで計算をやりきる習慣を。

東大に比べて，京大では計算が難しい問題は少ない。ということは，計算ミスができないということである。つまり，最後まで計算をやりきる力を身につけなければならない。問題演習でも自分の手を動かして計算することを怠らないようにすること。その際，複雑な式の扱い方（文字による置き換えや次数下げなど）の計算テクニックもあわせて身につけておこう。