2011年度
入試速報 東京大学
入試問題の分析と対策

前期理系数学

■概要

試験時間：150分 大問数：6題

■東京大学の数学（前期理系）で求められる力

○解釈・構築・発信の力が高度に求められる。

「問題の状況を把握するのに時間がかかる問題」「煩雑な計算にもミスなく対応する確実な計算力を必要とする問題」 「問題の解釈は比較的容易だがいろいろな解法が考えられる問題」がすべて出題される。 言い換えれば，問題を解釈し，解法を構築し，答案として発信する，そのすべての力を高いレベルで求められるということだ。 また，理系においては，数学に関する深い理解と幅広い知識，および豊富な経験によって培われた代数的処理能力も要求されている。

○分野横断的に本質を捉える深い理解力を求められる。

問題の題材として，図形と方程式・数列・微積分・数の大小比較・整数・論証・確率などが多く， それらが分野横断的な融合問題として出題される。それに加えて，近年はベクトルや行列も題材として登場する。 また，定理・公式の運用だけでなく，その定理・公式の意味をその必要十分性まで踏まえて正しく理解しているかが問われる。

■最近5年間の出題状況

テーマ	2011	2010	2009	2008	2007
方程式・不等式
2次関数	○			○	○
図形と方程式	◎			○
三角比・三角関数		○	○
指数関数・対数関数
極限	○		◎		○
微分	◎	○	○
積分	◎	◎	○	◎	○
場合の数・確率	○	○	○	○	○
平面図形
空間図形		◎	○	○
平面ベクトル			○
空間ベクトル		○
数列	◎	○		○
行列			○		○
2次曲線
極座標
論証	○		○	○	○
整数問題	○	○	○	○

※ ○は1題，◎は2題以上の大問でそのテーマの力が問われたことを示した。 (解答で用いられる知識は解法による。ここでは，受験生が試験本番で実際に使えると 東大特講編集部が判断した解法をもとに，テーマのカウントを行っている。)

■2011年度入試の特徴

○計算処理量や読解力がかなり必要な問題セットであった。

毎年各分野からバランスよく組み合わされた出題になっており， 2011年度も微積分，図形と方程式，数列，整数問題，場合の数など幅広く， 深い理解が求められた。ただし，東大の特徴の一つである確率の出題がなかった。 それに対し，図形問題や微積分の問題ではかなりの計算量を必要とする問題が多かった。 また，特別なテクニックは必要とせず，本質を理解した上で問題に即して素直に考える力で対応できる問題が集まっていて， 東大は読解力を求めていることがうかがえる。

○2010年度に比べて，大問間の難易度の差が大きかった。全体としての難度は，2010年度並。

2011年度は，第1問の1大問は合格するのには落とせない問題で，第3問，第4問，第6問は 計算量が多く， 正確な計算力と時間のかかる問題であった。また，第2問と第5問は問題の題意がとらえにくく， 難易度は高かった。入試という限られた時間内なので，自分の実力・得手不得手と冷静に照らし合わせて， ある程度考えて進めなくなったら次の問題，という切り替えをうまくできたかどうかも勝負を分けたであろう。

■2011年度 大問別出題分析

大問	テーマ	難易度	内容と求められた力
第1問	図形と方程式 微分	やや易	三角形の面積の最大値を求める問題で，正確な計算力が求められた。 (1)は，三角形の面積を求める問題。円と直線の2交点Q,Rと円の中心Pでできる三角形なので， 点Pと直線の距離を考えることによって解いていけばよい。(2)は，(1)で求めた面積の最大値を求める問題。 分数関数の微分，無理関数の微分など，基本的な微分の計算で難なく解ける。ただし，面積 を2乗することによって， 無理関数の微分については解消することができる。普段から丁寧に計算する訓練をしていけば，十分に得点できるはずである。
第2問	数列 整数 論証	(1) やや易 (2)標準 (3)難	問題文で定義された記号が何を表すのか読み解く力と，実験を通して，一般化していく力が求められた。 逆数の小数部分で作られる数列について，特定の初項の場合と定数数列になる場合について考察する問題。 (1)は，実数の小数部分を表す記号 〈〉を用いて，具体的に に対して，〈〉を求める問題。 計算をしていくと，常にであることがわかり，定数数列であることに気づく。 (2)は，定数数列となるような一般項を求める問題。 (1)での計算から一般化していくのだが， まず，の値が1以上になることはないことに気づく必要がある。 次に，≦＜1から， の取りうる値は， 1＜≦3となるので， の整数部分が1，2，3で場合分けして， を解いていけばよい。 (3)は連分数を題材としていることから近年頻出の整数問題とみることもでき， その点では従来の傾向通りの出題となっている。(3)は整数の割り算において，余りが0以上（割る数）未満であることから， 余りの列が0以上未満の減少数列になることが証明のカギである。 結局は割り算の原理に帰着する点を見抜くことがポイントになる。また，そのことを明快に論述することもポイントの一つであり， 受験生には難しい問題であった。 普段から，目新しい問題に対して，具体的な処理から一般化をするということを心掛けていく必要がある。 この具体的な処理の部分が最も重要で，ただ値を求めればよいという姿勢ではなく， 本質がどこにあるのかを分析しながら処理を進めることが重要である。
第3問	微積分 極限	やや難	定積分の問題で，正確な計算力が求められた。 (1)を間違えると致命傷。(2)で置換の方法を見抜くことで，積分しやすくすることがポイントなのだが， 限られた時間で複雑な積分計算をしなければならず，途中であきらめてしまった受験生も多いのではないだろうか。 (3)では，極限を求める。(2)の結果の式をうまく整理できれば，易しいが， 意外に“整理”することができなかった受験生も多いだろう。 普段から，手間を惜しまず自分でしっかりと答案を仕上げることが， いかに大切かを問うている問題である。
第4問	図形と方程式	標準	幾何的な条件を的確に表現する能力と，軌跡を求めるための同値変形など本質的な理解が求められた。 のグラフ上にある3点で作られる二等辺三角形の重心の軌跡を求める問題。 媒介変数を消去して，の関係式を求めることは，方針が立ちやすい。しかし， 計算がやや煩雑になるので，要領よく計算する力が求められる。 次に，実数の存在条件も求めなければいけないことに気づけるかがポイントだ。 気づき， 条件式がすべて書き出せたとしても， 消去される媒介変数の実数解条件を考えるところが難しく，低得点にとどまってしまったことであろう。 ただし，気づかなくても，軌跡が双曲線になるので図示できる式に変形し，概形をかくことで， 問題文から点 Pより左上に軌跡があることが読み取れることを手がかりにすれば，完答も可能である。 また，最初の立式については，ベクトルの内積を用いるなど複数の処理方法が考えられる。 処理の方法によって，大きく手間が変わるので，解法の選択によっても，差がでた可能性がある。 幾何に関する問題は，複数の解答を作成する練習を普段から心がけるとよいだろう。 2004年にも文理共通の第1問として， 放物線上にある3点で作られる正三角形の問題が出題されているので，過去問はしっかり押さえておきたい。
第5問	場合の数 数列	標準	題意を的確に読み取る力とそれを数式化することができる力を求められた。 ある条件を満たす整数の組の個数を求める問題。 正整数を与えることによって定まる整数の組 を パターンと呼び，これに対して， 関数 が定義されている。 (1)は関数 の関数値が特定の値となるような パターンの個数を求める問題。 (2)は関数の関数値が特定の値となるようなパターンの個数を求める問題。 (3)は(2)の結果を受けてパターンの総数を求める問題。 パターンという用語の定義や 関数の定義を理解すること，および， 結局は の組の個数を求める問題であることなど， 試験現場での題意の正確な把握が第一のポイントである。その上で， 「の組に応じて の個数が定まり，その和をとればよい」という点をつかむことが第二のポイント， (2)で場合分けが生じることが第三のポイントである。また，(3)は (2)で求めた結果を受けての計算で，(2)まで解ければ(3)は容易に解け，完答も可能だ。 東大では，特に場合の数・確率の分野において， 解釈がポイントになる問題が多い。問題文を正確に読解し，数学的に解釈する能力が要求されているのだ。 答案の記述も含め，読み書きの言語能力の養成は侮れない。 また，解法によっては不等式の処理等，評価の問題に対する扱いに習熟しておく必要もあろう。
第6問	2次関数 微積分	(1)標準 (2) やや難 (3)難	題意を的確に読み替える力と冷静で緻密な状況判断が求められた。 2次関数の最大値と最小値の差を求め，それを利用して不等式の表す領域の概形を図示し， さらにそれに関連して不等式で表される立体の体積を求める問題。 (1)は2次関数の最大値と最小値の差を求める問題。軸の位置によって場合分けする必要がある。 (2)は「 ＞0かつ，実数で0≦ ≦1の範囲の全ての実数に対して，0≦≦1を満たすようなものが存在する」ような領域の概形を図示する問題。 “存在”と“全ての”を同時に処理しなくてはならず，これが「(1)の結果が1以下」と同値であることをつかむことがポイントになる。 (3)は，-≦≦から，≦かつ≦ の条件に読み替えて， 切断面の領域を図示し，その断面積を積分することで体積を求める問題。 どの座標軸に対して，垂直に切るかでその後の処理の手間が若干変わる。軸で垂直に切ることが理想的だが， (2)に引きずられて，軸で垂直に切り，考えた受験生が多かっただろう。 場合分けが小問ごとに4通りあり，使用する文字も多く煩雑で，解答用紙いっぱい使っても書ききれない。 (1)に手をつけて確実に得点を稼ぎ，(2)以降は読み替えも難しいので手をつけなかった受験生は多いことだろう。 いずれも正確な論理力と計算処理能力，数式から図形の概形を大胆に図示する能力など，発想やアイデアではなく， 高校数学の基礎的部分において高いレベルの能力が要求されている。

※「難易度」は，東大特講編集部が考える模範解答に対して，合格レベルの人であれば半分程度の答案を作成できると推測したものを「標準」とした。

■合格に向けての対策

○頻出問題・頻出解法は一通りマスターしておく。

分野単独の出題が少ない東大入試においても，基本解法は大切だ。 「問題の状況を把握するのに時間がかかる問題」「解法はわかっても計算量が多い問題」 「問題の解釈は比較的容易だがいろいろな解法が考えられる問題」 などが出題されるが，それらどの問題をとってみても，解答の根底には基本解法がある。 高3の夏前までにはきちんとマスターしておこう。また，基本解法を身につける際には， 「なぜ，その解法を用いるのか」を理解することが大事だ。問題の解釈をして答案を構築していく力を， ここでも身につけることができる。

○微積分・整数・論証・図形の対策ははずせない。

2011年度も頻出テーマの微積分が出題されている。そこに，伝統的な図形問題の復活の兆しも見えてきた。 また，「論証らしい論証」も出題され，論理的な答案を書く力も求められた。 東大入試の過去問はもちろん，京大などの微積分・整数・確率や論証，図形問題が頻出である大学の過去問にも取り組んでおくとよい。 また，『東大特講「思考技法」で攻略する東大数学講座』では，東大でよく出る微積分・確率・整数問題の解法が解説してある。 このような教材を用いて微積分・確率・整数問題に対応できる力を身につけるのも有効である。

○問題演習は，必ず最後まで答案を書け。

とっつきやすい言葉で表現されていて，一見解きやすいように見える問題でも， 複雑な場合分けを要求したり， 自明と思われるようなことを論理的に表現することを求めたりしている。 最後まで問題を解ききってみないと，どこにその問題の山場が来るのかわからない問題が多いのだ。 微積分などの計算の練習という意味もあるが，最後まで解答を書ききるという習慣自体も東大入試数学攻略のために有効だ。

○自分の答案を見直して，矛盾，飛躍などがないかをチェックする習慣をつけよ。

東大数学では，解答方針はわかっても答案として発信するのが難しい問題が多くなってきている。 答案として発信する力をつけるには，自分の答案を客観視できる力をつける必要がある。 といっても最初は難しいので，自分の答案を先生などに添削してもらうとよい。添削を受けているうちに， チェックの観点が身につき，自分でも答案を客観的に見ることができるようになるはずだ。