2008年度
入試速報 東京大学
入試問題の分析と対策

前期理系数学

■概要

試験時間：150分 大問数：6題

■東京大学の数学（前期理系）で求められる力

○解釈・構築・発信の力が高度に求められる。

「問題の状況を把握するのに時間がかかる問題」「問題の解釈は比較的容易だがいろいろな解法が考えられる問題」「煩雑な計算にもミス無く対応する確実な計算力を必要とする問題」がすべて出題される。言い換えれば，問題を解釈し，解法を構築し，答案として発信する，そのすべての力を高いレベルで求められるということだ。また，理系においては数値を当てはめていきながら，より精度の高い近似値を探し出させたり，立体図形の投影図を描かせたりと，探究心を試されるような出題もなされる。

○全ての分野に対して深い理解を求められる。

問題の題材として，空間図形・数列・微積分・数の大小比較・整数・論証・確率などが多く，それらが分野横断的な融合問題として出題される。また，定理・公式の運用だけでなく，その定理・公式の意味をその必要十分性まで踏まえて正しく理解しているかが問われることがある。

※○は1題、◎は2題以上の大問でそのテーマの力が問われたことを示す。（解答で用いられる知識は解法による。ここでは，受験生が試験本番で実際に使えると東大特講編集部が判断した解法をもとに，テーマのカウントを行っている。）
※（＊）複素数平面は2006年度入試より出題範囲外。

■2008年度入試の特徴

○昨年は出題されなかった空間図形，１次変換を用いることのできる問題が出題された。

毎年各分野からバランスよく組み合わされた出題になっており，今年度も2次関数，微積分，整数問題，論証，確率など幅広く，深い理解が問われた。その中でも，最大の特徴は久しぶりの１次変換と伝統の空間図形が出題されたことである。逆に，ここ数年の中では多く出題されていた近似値の出題がなかった。

○問題を解く順番によって出来・不出来が大きく分かれるであろう問題セット。全体としてはやや難化。

難易度の上では，最近の傾向通り手がつけられない難問はないが，難易差があることと，答案作成上どの程度まで記述すればよいか迷う問題があり，制限時間の中でどの順番に解いていくかが重要な鍵となる。ここ数年の難易度からすると，今年はやや難化した。実際のところ，すべての問題文を読んで確実に得点できる問題からとりかかる冷静さが要求される。

■2008年度 大問別出題分析

大問	テーマ	難易度	内容と求められた力
第1問	図形と方程式 数列	標準	問題文“D0，D1，D2，…すべてに含まれるような点の範囲”を読みかえる力が求められた。 ある変換によって移された直線群の通過領域に関する問題。 （１）では，１次変換の基本的な問題として， 上の点を(x, y)，上の点を(X，Y)として(x,y)を(X,Y)で表すことを考えればよい。ただし，1次変換を用いなくても処理できる問題である。 （２）では連立漸化式を解くことになる。加減法でも，隣接三項漸化式にもちこんでも解ける。問題はその後の領域。領域を考えるとき，“ D0，D1，D2，…すべてに含まれる”を“任意のnに対して不等式が成立する”と読みかえて，の通る定点を見つけられるかどうかがポイント。 の式からn=1，2，3，…，→∞のときを考え，実際に直線がどのように引かれていくのかをイメージする必要がある。 第１問としては難しい出題と思える。
第2問	確率	標準	試行錯誤して状態の移り変わりを捉える力が求められた。 白黒2色の同数のカードを入れ替えていき，全部が同じ色になる場合の確率を求めさせる問題。 カードの色と枚数と変化するものが2種類あるので「どのような状態からどのような状態に変化するのか」をモデル化するのが難しいところ。変化の様子は実際に何回かの試行を実験してみることが必要である。 結局は最後の一手のみが特殊な変化なので，それまでにどのような状態が繰り返されるのかを考えればよい。そこに気がつくとnについて偶奇で場合分けをする必要があることに気がつく。 （２）は（１）と同様に考えればよいが，(1)より状態が複雑な分だけ変化の様子をとらえることが難しい。 2004年の白黒の板を裏返す問題をほうふつとさせるが，今年の方が取り組みやすいと思われる。
第3問	空間図形 積分法	難	空間把握力が求められた。 正八面体を真上から見た様子をかかせ，次にそれを回転させたときの体積を求めさせる問題。ここ数年出題されていなかった本格的な空間図形の問題である。 （１）は，正八面体の1つの面を台の上に置いたとき，真上から見た図を描く問題。直感的に正六角形の形が浮かんでしまうと，その図を描いて終わりにした受験生も多いのではないだろうか。もちろん，正六角形となる根拠は記述したいが，どの程度書けばよいのか悩ましい問題である。 （２）はよくある立体図形の回転体の体積の問題であり，座標を導入しても，断面をとらえても解ける。ただ，どちらの解法をとっても，かなりの難問である。 1990年の文理共通問題をほうふつとさせる題材で，空間把握と求積の仕方が問われる。
第4問	2次関数 微積分	やや易	素早い計算処理能力が求められた。 放物線上の2点を結んだ線分の中点に関して，y座標の最小値を求める問題。 （１）は，2点P，Qの座標を設定すれば，それらを用いてh，L，mが表されるので，2文字の対称式の典型的な関係によって，hをLとmで表すことができる。 （２）は，変数をうまく置き換えて単純な分数関数にすれば，微分法によって最小値は簡単に求められる。ただし，Lの範囲によって場合分けが生ずる点が要注意。東大のレベルとしては，この場合分けでしか差がつかない問題である。 2次関数を題材とした問題としては極めて基本的で，Lの条件の与え方によっては文系の標準問題とも言える。その際には，（２）が数Ⅲの微分法ではなく相加平均・相乗平均の関係を使う解法が必要となる。いずれにしても，2004年の放物線上の3点を結んだ正三角形の文理共通問題と比較しても易しい。 他の問題の難しさを考えると，確実に得点しておきたい問題である。
第5問	論証 整数問題	やや難	正確な論証力を求められた。 1がn個並んだn桁の自然数に関する論証問題。 （１）は，0以上のすべてのmについて成り立つ命題の証明問題で，定石通り「数学的帰納法」で示せる。m=kの場合の成立を仮定して，m=k+1の場合を証明する際に， 　　　 の因数分解がポイントとなる｡ （２）は，必要十分条件の証明で，十分性よりも必要性の答案が書きにくい。どちらも， 　　　 の因数分解と（１）の命題を利用することがポイントである。
第6問	微積分	標準	効率よく描画する能力と，素早い計算処理能力が求められた。 媒介変数表示の曲線で囲まれた部分の面積を求める問題。 媒介変数用の増減表をつくるのが一般的であるが，xよりもyの方がパラメータtの導関数について符号の判断がしづらい。そのために，律儀に増減表を作成しようとすると時間的に厳しくなる。あくまでも求積に主眼を置いた問題であると見るならば，いくつかのt (=0，，，，，，，，)に対する点（x，y）を求めることによって，tの変化とともに2つのループは描けるので，グラフの増減に関しては要領のいい記述で乗り切りたい。 面積に関しては，tの変化に対する曲線の位置関係に注意して，積分の式を立てる。変数変換により，パラメータtに関する積分計算となるが，三角関数の部分積分など計算力も問われる問題である。

※編集部が考える模範解答に対して、合格レベルの人であれば半分程度の答案を作成できると推測したものを「標準」とする。

■合格に向けての対策

○頻出問題・頻出解法は一通りマスターしておく。

分野単独の出題が少ない東大入試においても，基本解法は大切だ。「問題の状況を把握するのに時間がかかる問題」「問題の解釈は比較的容易だがいろいろな解法が考えられる問題」「解法はわかっても計算が大変な問題」などが出題されるが，それらどの問題をとってみても，解答するためには基本解法が根底にある。高3の夏前までにはきちんとマスターしておこう。また，基本解法を身につける際には，「なぜ，その解法になるのか」を理解することが大事だ。問題を解釈して答案を構築していく力を，ここでも身につけることができる。

○微積分・整数・論証の対策ははずせない。

整数問題の対策は欠かせないだろう。東大入試の過去問はもちろん，京大などの微積分・整数・論証問題が頻出である大学の過去問にも取り組んでおくとよい。また単純な計算ではない論証力を試される出題は必須である。自分の考えを紙面で正確に採点者に伝えるためには，普段からきちんとした答案を作成する習慣をつけることは特に重要である。

○問題演習は，必ず最後まで答案を書ききろう。

とっつきやすい言葉で表現されていて，一見解きやすいように見える問題でも，複雑な場合分けを要求したり，自明と思われるようなことを論理的に表現することを求められたりしている。最後まで問題を解ききってみないと，どこにその問題の山が来るのかわからない問題が多いのだ。数値計算，微積分の計算の練習という意味もあるが，最後まで解答を書ききるという習慣自体も東大入試数学攻略の秘訣の1つだ。

○自分の答案を見直して，矛盾，飛躍などがないかをチェックする習慣をつけよう。

東大数学では，解答方針はわかっても答案として発信するのが難しい問題が多くなってきている。答案として発信する力をつけるには，自分の答案を客観視できる力をつける必要がある。といっても最初は難しいので，自分の答案を先生などに添削してもらうとよい。添削を受けているうちに，チェックの観点が身につき，自分でも答案を客観的に見ることができるようになるはずだ。